Il Binario è la base dell'informatica, è come prima lezione il nostro Ingegnere Informatico Gianfranco Vecchio ci spiega i suoi segreti, in una sapiente lezione sviluppanta in punti completi e concisi. La comunità ringranzia ancora il nostro Ingengnere Gianfranco Vecchio che potete trovare sul forum con il nome di Montalbano.

In questa prima lezione tratteremo il sistema di numerazione binario, che sta alla base di tutte quelle operazioni che noi possiamo compiere con il nostro calcolatore. Questi è costituito da un’insieme di componenti elementari che si possono presentare solamente in 2 condizioni diverse: in un circuito passa o non passa corrente, un tubo elettronico è acceso o spento. In questo modo l’eleboratore registra le informazioni, rappresentando numeri, lettere e caratteri particolari mediante una serie di 1 e di 0. Il sistema di numerazione che noi adoperiamo è a base 10 in quanto contiamo gli oggetti raggruppandoli di dieci in dieci e utilizziamo 10 cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) per scrivere i numeri. È possibile adoperare altri sistemi di numerazione che partono da basi diverse come il sessagesimale (a base 60, utilizzato dagli antichi Sumeri e attualmente adoperato per esprimere la misura dell'ampiezza di un angolo).
Il sistema di numerazione binario, come già detto, conta gli oggetti raggruppandoli a due a due per cui utilizza 2 cifre, lo 0 e l'1, per rappresentare qualsiasi numero.
I cambiamenti di base (da base 10 a base 2 e viceversa)
La trasformazione di un numero da base 10 a base 2 si ottiene dividendo il numero per due fino ad ottenere un quoziente inferiore a 2; si registrano i resti delle divisioni e l'ultimo quoziente; il numero viene rappresentato scrivendo l'ultimo quoziente e riportando, a ritroso, i resti delle divisioni.
Questa procedura può essere utilizzata per trasformare qualsiasi numero dato in base 10, in altra base: il divisore sarà il numero utilizzato per quella determinata base.
Facciamo un esempio tanto per chiarire le idee; vogliamo convertire 37 da base 10 a base 2:
37 : 2 = 18 resto = 1
18 : 2 = 9 resto = 0
9 : 2 = 4 resto = 1
4 : 2 = 2 resto = 0
2 : 2 = 1 resto = 0

Allora avremo 3710 = 1001012

La trasformazione di un numero da base 2 a base 10 si ottiene moltiplicando ogni cifra, partendo dall'ultima, per la potenza di 2 che gli corrisponde (all'ultima cifra corrisponde 20 cioè 1, alla penultima 21, alla terzultima 22 e così via) e sommando i risultati.

Esempio

1011012

1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 45

L'addizione
Per eseguire un'addizione in sistema binario si utilizza la seguente tabella:

+ 1 0
1 10 1
0 1 0

Esempio

1 1 0 1 1 +
   1 0 1 1 =
--------------
10 0 1 1 0

La moltiplicazione
Per eseguire una moltiplicazione in sistema binario si utilizza la seguente tabella:

X 1 0
1 1 0
0 0 0

Esempio

1 0 0 1 1 x
1 1 =
1 0 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1

Ecco una tabellina che riassume la conversione fra i più comuni sistemi numerici utilizzati in informatica (il sistema esadecimale utilizza sedici simboli invece che 10 rispetto al sistema decimale):

I numeri binari non sono utilizzati esclusivamente per memorizzare numeri interi positivi ma è possibile scrivere numeri binari con segno e parte decimale senza introdurre nuovi caratteri (come la virgola e il segno meno).

Rappresentazione in modulo e segno
Questo è il modo più semplice per rappresentare e distinguere numeri positivi e negativi: al numero binario vero e proprio viene anteposto un bit che, per convenzione, assume il valore 0 se il numero è positivo ed assume il valore 1 se il numero è negativo. Il grande difetto di questa rappresentazione è quello di avere due modi per scrivere il numero 0: 00000000 e 10000000 significano infatti +0 e -0.

Rappresentazione in complemento a 2
Questo metodo di rappresentazione ha notevoli vantaggi, soprattutto per effettuare somme e differenze: in pratica ai numeri viene anteposto un bit di valore zero; se poi il numero è negativo è necessario convertirlo in complemento a 2: per farlo è sufficiente leggere il numero da destra verso sinistra e invertire tutte le cifre a partire dal primo bit pari a 1 (escluso). Per fare un esempio:
− 1210 = − 011002 = 10100CA2
Come è possibile notare seguendo questo metodo il primo bit diventa automaticamente il bit del segno (come per il metodo precedente). Viene però risolto il problema dell'ambiguità dello 0 (in complemento a 2 00000 e 10000 hanno significati diversi) e vengono enormemente facilitate le operazioni di somma e differenza, che si riducono alla sola operazione di somma: per spiegarmi meglio basta fare un esempio:
510 − 1010 = 510 + ( − 10)10 = 1012 − 11002 = 00101CA2 + 10100CA2 = 11001CA2 = − 001102 = − 510

Rappresentazione a virgola fissa
Dato che in un bit non è rappresentabile la virgola il metodo più semplice per rappresentare numeri frazionari è quello di scegliere arbitrariamente la posizione della virgola (ad es. se si sceglie di usare 4 bit per la parte intera e 4 per la parte frazionaria: 101001012 significa 1010,01012).

Rappresentazione in virgola mobile
Esistono innumerevoli modi per rappresentare numeri in virgola mobile ma il sistema più utlizzato è lo standard IEEE P754; questo metodo comporta l'utilizzo della notazione scientifica, in cui ogni numero è identificato dal segno, da una mantissa (1,xxxxx) e dall'esponente (nyyyyy). La procedura standard per la conversione da numero decimale a numero binario P754 è la seguente:
1. Prima di tutto il numero, in valore assoluto, va convertito in binario.
2. Il numero va poi diviso (o moltiplicato) per 2 fino a ottenere una forma del tipo 1,xxxxxx.
3. Di questo numero viene eliminato l'1 iniziale (per risparmiare memoria)
4. Il numero di volte per cui il numero è stato diviso (o moltiplicato) per 2 rappresenta l'esponente: questo valore (decimale) va espresso in eccesso 127, ovvero è necessario sommare 127 e convertire il numero risultante in binario.
A questo punto abbiamo raccolto tutti i dati necessari per memorizzare il numero: in base al numero di bit che abbiamo a disposizione possiamo utilizzare tre formati: il formato a precisione singola (32 bit), il formato a precisione doppia (64 bit) e il formato a precisione quadrupla (128 bit).
1. Nel primo caso possiamo scrivere il valore utilizzando 1 bit per il segno, 8 bit per l'esponente e 23 bit per la mantissa
2. Nel secondo caso servirà 1 bit per il segno, 11 bit per l'esponente e 52 per la mantissa.
3. Nel terzo caso servirà 1 bit per il segno, 15 bit per l'esponente e 112 per la mantissa.
Per esempio, convertiamo il valore − 14,312510 in binario P754 single:
1. Convertiamo prima di tutto il numero: 1410 = 11102 per la parte intera e 0,312510 = 0,01012. Quindi il numero definitivo è 1110,01012 (segno escluso).
2. Dividiamo poi il numero per 2 per ottenere la seguente notazione: 1110,01012 = 1,10001012 * 23
3. La mantissa diventa, quindi: 1000101.
4. Per esprimere l'esponente in eccesso 127, infine: 127 + 3 = 13010 = 100000102
Il numero, alla fine, sarà espresso nel formato:
1 10000010 10001010000000000000000

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